समाकलन int frac{sin theta cdot sin 2 theta le | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{\sin 	heta \cdot \sin 2 	heta \left(\sin ^{6} 	heta+\sin ^{4} 	heta+\sin ^{2} 	hetaight) \sqrt{2 \sin ^{4} 	heta+3 \s

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{18}\left[11-18 \cos ^{2} 	heta+9 \cos ^{4} 	heta-2 \cos ^{6} 	hetaight]^{\frac{3}{2}}+ c$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{\sin 	heta \cdot \sin 2 	heta \left(\sin ^{6} 	heta+\sin ^{4} 	heta+\sin ^{2} 	hetaight) \sqrt{2 \sin ^{4} 	heta+3 \sin ^{2} 	heta+6}}{1-\cos 2 	heta} d 	heta$.$\sin 2 	heta = 2 \sin 	heta \cos 	heta$ और $1 - \cos 2 	heta = 2 \sin ^{2} 	heta$ का उपयोग करने पर:$I = \int \frac{\sin 	heta \cdot (2 \sin 	heta \cos 	heta) \cdot \sin ^{2} 	heta (\sin ^{4} 	heta + \sin ^{2} 	heta + 1) \sqrt{2 \sin ^{4} 	heta + 3 \sin ^{2} 	heta + 6}}{2 \sin ^{2} 	heta} d 	heta$.$I = \int \sin ^{2} 	heta \cos 	heta (\sin ^{4} 	heta + \sin ^{2} 	heta + 1) \sqrt{2 \sin ^{4} 	heta + 3 \sin ^{2} 	heta + 6} d 	heta$.माना $t = \sin 	heta$,तब $dt = \cos 	heta d 	heta$.$I = \int t^{2} (t^{4} + t^{2} + 1) \sqrt{2 t^{4} + 3 t^{2} + 6} dt = \int (t^{6} + t^{4} + t^{2}) \sqrt{2 t^{4} + 3 t^{2} + 6} dt$.यह $\int (t^{5} + t^{3} + t) \sqrt{2 t^{6} + 3 t^{4} + 6 t^{2}} dt$ में सरल हो जाता है।माना $u^{2} = 2 t^{6} + 3 t^{4} + 6 t^{2}$,तब $2u du = (12 t^{5} + 12 t^{3} + 12 t) dt = 12(t^{5} + t^{3} + t) dt$.अतः,$(t^{5} + t^{3} + t) dt = \frac{u du}{6}$.$I = \int u \cdot \frac{u du}{6} = \frac{1}{6} \int u^{2} du = \frac{u^{3}}{18} + c = \frac{(2 t^{6} + 3 t^{4} + 6 t^{2})^{3/2}}{18} + c$.$t^{2} = 1 - \cos^{2} 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $11 - 18 \cos^{2} 	heta + 9 \cos^{4} 	heta - 2 \cos^{6} 	heta$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $D$ सही है।

List-$I$	List-$II$
$1. \int \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} dx$	$A. \frac{\tan^2 x}{2} + \ln\|\cos x\| + c$
$2. \int \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} dx$	$B. \cos x + \sec x + c$
$3. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} dx$	$C. \frac{\tan^3 x}{3} + c$
$4. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} dx$	$D. \tan x + \frac{\sin 2x}{4} - \frac{3x}{2} + c$
	$E. \cos x - \sec x + c$

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$\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x=$

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